Lieu géométrique et nombres complexes (3) - Corrigé

Énoncé

Déterminer les ensembles de points \(\text M(z)\) vérifiant chacune des conditions suivantes.

1. \(\mathscr{E}_1=\left\lbrace \text M(z) \colon \left\vert z-4+3i \right\vert =2 \right\rbrace\)

2. \(\mathscr{E}_2=\left\lbrace \text M(z) \colon \left\vert \dfrac{z+5-2i}{z-3+i} \right\vert = 1 \right\rbrace\)

3. \(\mathscr{E}_3=\left\lbrace \text M(z) \colon \arg\left(\dfrac{z-3-2i}{1+i}\right) \equiv \dfrac{\pi}{2} \ [2\pi] \right\rbrace\)

4. \(\mathscr{E}_4=\left\lbrace \text M(z) \colon \arg\left(\dfrac{z-4i-1}{z-3}\right) \equiv \dfrac{\pi}{2} \ [\pi] \right\rbrace\)

5.  \(\mathscr{E}_5=\left\lbrace \text M(z) \colon \arg\left(\dfrac{z+2-i}{z-1+4i}\right) \equiv \pi \ [2\pi] \right\rbrace\)

6. \(\mathscr{E}_6=\left\lbrace \text M(z) \colon \arg\left(\dfrac{z-1}{z+1}\right) \equiv -\dfrac{\pi}{2} \ [2\pi] \right\rbrace\)

Solution

1. On note  \(\text A\) le point du plan complexe d'affixe \(z_\text A =4- 3i\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}\) . On a :  \(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_1 & \Longleftrightarrow \left\vert z-3+3i \right\vert = 2 \Longleftrightarrow \left\vert z-z_\text A \right\vert = 2 \Longleftrightarrow \text A\text M = 2\end{align*}\)
donc \(\mathscr{E}_1\) est le cercle de centre  \(\text A\) et de rayon 2.

2. On note  \(\text A\) et  \(\text B\) les points du plan complexe d'affixes \(z_\text A=-5+2i\) et \(z_\text B=3-i\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}\) . On a : 
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_2& \Longleftrightarrow \left\vert \frac{z+5-2i}{z-3+i} \right\vert = 1 \Longleftrightarrow \left\vert \frac{z-z_\text A}{z-z_\text B} \right\vert = 1 \Longleftrightarrow \dfrac{\text A\text M}{\text B\text M} = 1 \Longleftrightarrow \text A\text M=\text B\text M\end{align*}\)
donc \(\mathscr{E}_2\) est la médiatrice du segment \([\text A\text B]\) .

3. On note \(\text A\) le point du plan complexe d'affixe `z_\text A=3+2i` .
Soit `z \in \mathbb{C}` tel que \(z \neq 3+2i\) . On a : 
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_3& \Longleftrightarrow\arg\left(\frac{z-3-2i}{1+i}\right) \equiv \frac{\pi}{2} \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow\arg(z-3-2i)-\arg(1+i) \equiv \frac{\pi}{2} \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow\arg(z-3-2i) \equiv \arg(1+i)+\frac{\pi}{2} \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow\arg(z-z_\text A) \equiv \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2} \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow\left(\vec{u};\overrightarrow{\text A\text M}\right) \equiv \frac{3\pi}{4} \ [2\pi]\end{align*}\)
donc \(\mathscr{E}_3\) est la demi-droite d'origine \(\text A\) et faisant un angle de \(\dfrac{3\pi}{4}\) avec le vecteur \(\vec{u}\) .

4. On note \(\text A\) et \(\text B\) les points du plan complexe d'affixes \(z_\text A=3\) et \(z_\text B=4i+1\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}\) tel que \(z \neq 3\) et \(z \neq 4i+1\) . On a :
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_4& \Longleftrightarrow \arg\left(\frac{z-4i-1}{z-3}\right) \equiv \frac{\pi}{2} \ [\pi]\\& \Longleftrightarrow\arg\left(\frac{z-z_\text B}{z-z_\text A}\right) \equiv \frac{\pi}{2} \ [\pi]\\& \Longleftrightarrow \left(\overrightarrow{\text A\text M};\overrightarrow{\text B\text M}\right) \equiv \frac{\pi}{2} \ [\pi]\\& \Longleftrightarrow\left(\overrightarrow{\text M\text A};\overrightarrow{\text M\text B}\right) \equiv \frac{\pi}{2} \ [\pi]\end{align*}\)
donc  \(\mathscr{E}_4\) est le cercle de diamètre \([\text A\text B]\) privé des points \(\text A\) et \(\text B\) .

5. On note \(\text A\) et \(\text B\) les points du plan complexe d'affixes \(z_\text A=1-4i\) et \(z_\text B=-2+i\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}\) tel que \(z \neq 1-4i\) et \(z \neq -2+i\) . On a :
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_5& \Longleftrightarrow \arg\left(\frac{z+2-i}{z-1+4i}\right) \equiv \pi \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow\arg\left(\frac{z-z_\text B}{z-z_\text A}\right) \equiv \pi \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow\left(\overrightarrow{\text A\text M};\overrightarrow{\text B\text M}\right) \equiv \pi \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow\left(\overrightarrow{\text M\text A};\overrightarrow{\text M\text B}\right) \equiv \pi \ [2\pi]\end{align*}\)
donc \(\mathscr{E}_5\) est le segment \([\text A\text B]\) privé des points \(\text A\) et \(\text B\) .

6. On note \(\text A\) et \(\text B\) les points du plan complexe d'affixes \(z_\text A=-1\) et \(z_\text B=1\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}\) tel que \(z \neq -1\)  et \(z \neq 1\) . On a :
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_6& \Longleftrightarrow\arg\left(\frac{z-1}{z+1}\right) \equiv -\frac{\pi}{2} \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow\arg\left(\frac{z-z_\text B}{z-z_\text A}\right) \equiv -\frac{\pi}{2} \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow\left(\overrightarrow{\text A\text M};\overrightarrow{\text B\text M}\right) \equiv -\frac{\pi}{2} \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow\left(\overrightarrow{\text M\text A};\overrightarrow{\text M\text B}\right) \equiv -\frac{\pi}{2} \ [2\pi]\end{align*}\)
donc \(\mathscr{E}_6\) est le demi-cercle de diamètre \([\text A\text B]\) passant par le point d'affixe \(-i\) , privé des points \(\text A\) et \(\text B\) .